Physique et Structures Fractales

Note : ce document présente l'état de l'art au début des années quatre-vingt-dix. Il demeure une bonne introduction aux fractales en physique. Le lecteur qui souhaiterait plus de détails sur des sujets très précis pourra consulter les travaux spécialisés récents.

    L’introduction de la notion de « fractales » par Benoît B. Mandelbrot au début des années 1970, a représenté une révolution substantielle dans des domaines variés de la physique. Si les problèmes posés par les phénomènes engendrant des structures fractales sont d’une manière générale fort difficiles, leur formulation et l’appréhension géométrique des objets concernés en ont été considérablement simplifiées. Ceci explique certainement l’immense succès que connaît ce concept dans tous les phénomènes où l’on rencontre une apparence de désordre.
    Des structures géométriques complexes avaient déjà été imaginées par les mathématiciens il y a plus d’un siècle. Elles avaient à l’époque été utilisées comme exemples subtils de courbes continues mais non rectifiables, c’est-à-dire dont on ne peut mesurer la longueur, ou de courbes continues mais non dérivables partout, c’est-à-dire pour lesquelles il est impossible de tracer la tangente en un point. Benoît Mandelbrot prit conscience le premier, que de nombreuses formes dans la nature présentaient une structure fractale, depuis les nuages, les arbres, les montagnes, certaines plantes, les rivières, les côtes jusqu’à la distribution des cratères de la lune... L’existence de telles structures dans la nature est soit issue du désordre présent, soit provient d’une optimisation fonctionnelle. Il en est ainsi des arbres ou des poumons qui maximisent leur rapport surface/volume.
    Ce livre, issu d’un cours donné depuis trois ans à l’Ecole supérieure d'électricité, doit être considéré comme une introduction aux multiples phénomènes donnant naissance à des structures fractales. Il est surtout destiné aux étudiants, et à tous ceux qui souhaitent s’initier à ce domaine passionnant où des formes en apparence désordonnées deviennent géométrie; il devrait également être utile aux chercheurs, physiciens ou chimistes, qui ne sont pas encore devenus des experts du sujet. Il ne peut avoir la prétention d’être un livre exhaustif sur toutes les dernières recherches dans le domaine, mais contient l’essentiel pour les aborder. Des approfondissements peuvent être trouvés, non seulement dans les livres de Mandelbrot (Springer Verlag promet pour 1992, une sélection de livres qui réuniront des réimpressions d’articles anciens avec de nombreux travaux inédits (Mandelbrot, 1992)), mais également dans la très abondante littérature spécialisée, dont on trouvera en fin d’ouvrage les principales références.
    Après un premier chapitre introduisant les principales notions mathématiques nécessaires à la caractérisation des structures fractales, deux chapitres sont consacrés aux géométries fractales rencontrées dans la nature; la division de ces deux chapitres, destinée à alléger la présentation, est un peu arbitraire. Le chapitre 2 présente les structures qui peuvent avoir de très grandes tailles (galaxies, reliefs montagneux…), tandis que le chapitre 3 détaille plutôt les structures fractales étudiées par les physiciens des matériaux. Il est clair que cette classification est trop rigide; les fractures, par exemple, engendrent des structures semblables ayant des tailles allant de quelques microns à plusieurs centaines de mètres.
    Dans ces deux chapitres consacrés aux géométries fractales produites par le monde physique, nous avons introduits divers modèles très généraux. Ainsi le mouvement brownien fractionnaire est introduit à propos du relief, la percolation à propos des milieux désordonnés. Bien que ces notions aient une portée bien plus générale que les exemples auxquels ils ont été rattachés, ce choix dans l’exposition est destiné à alléger la partie mathématique du livre en l’intégrant au maximum dans un contexte physique.
    Le chapitre 4 est consacré aux modèles de croissance. Ceux-ci représentent une diversité et une richesse trop grandes pour être dispersés au fil des divers phénomènes décrits.
    Le chapitre 5, enfin, introduit les aspects dynamiques du transport dans les milieux fractals. Il complète ainsi les aspects géométriques de phénomènes dynamiques décrits dans les chapitres précédents